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数学分析  
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考核办法
 


《数学分析》(一)考试大纲

课程编号:021ZB001

课程名称(中文):数学分析(一)

课程名称(英文)Mathematical Analysis 1

学分:5

总学时: 90

实验学时:12

课外实践:15

适应专业:数学与应用数学专业(必修)

先修课程:高中数学  空间解析几何   高等代数  普通物理

一、考试对象

修完本课程规定内容的数学与应用数学专业学生。

二、考试目的

  检查学生对《数学分析》(一)的学习情况。

三、命题的指导思想和原则

命题的指导思想是:全面考查学生对本课程的基本概念、基本定理以及主要知识点的理解和掌握程度。

命题的原则是:题型尽可能多样化,覆盖所有重要知识点,基本知识一般占60%左右,一般性综合题目占30%左右,难度题目占10%左右。其中绝大多数是中小题目,即使大题目也不应占分太多,应适当压缩大题目在总的考分中所占的比例。

四、考核知识点和考核要求

()  函数

1、考核知识点

(1)  实数的基本性质和确界原理

教学内容要点:实数的基本性质;确界原理

(2)  函数的概念

教学内容要点:函数的定义;函数表示。

(3) 基本初等函数的性质及其图形

教学内容要点:有界性;单调性;奇偶性;周期性。

(4) 分段函数、反函数、复合函数的概念

教学内容要点:分段函数;反函数;复合函数。

(5) 实数绝对值的有关性质以及几个常用的不等式

教学内容要点:实数绝对值与不等式

2、考核要求:

1)掌握求函数定义域及函数值域的方法。

2)了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性。

3)给出简单函数会求复合函数或给出复合函数会分解为简单函数。

4)了解反函数存在的条件,并会求函数的反函数。

5)掌握上确界、下确界的概念,并能求集合的上、下确界。

() 数列极限

1、考核知识点

1)数列极限的定义

教学内容要点: “ε—N”定义;数列极限第二定义。

(2) 极限的性质及子列

教学内容要点:极限基本性质;四则运算法则;子列定义及性质。

(3) 极限的存在准则

教学内容要点:单调有界准则;柯西准则;子列判别法;重要极限。

2、考核要求:

1掌握数列极限的定义,并能用这个定义来证明数列敛散性。

2了解收敛数列的性质,掌握数列收敛判别法。

3)掌握数列极限的第二定义。

() 函数极限

1、考核知识点

1)极限的“ε—M”, “ε—δ”定义

教学内容要点:“ε—M”定义; “ε—δ”定义;单侧极限定义。

(2) 函数极限的性质

教学内容要点:极限基本性质;四则运算法则;迫敛性定理。

3)极限的存在准则、海涅定理与柯西准则

教学内容要点:海涅定理;柯西准则;极限的存在准则。

(4) 重要的极限

教学内容要点:两个重要的极限。

(4) 无穷小量与无穷大量及其阶的概念

教学内容要点:无穷小量;无穷大量;阶;渐近线。

2、考核要求:

1掌握函数极限和单侧极限的定义,并能用这个定义来证明函数的极限。

2了解函数极限的性质,掌握迫敛性定理。

3)掌握海涅定理与柯西准则,以及函数极限与单侧极限的关系。

4)掌握两个重要极限,并能灵活使用。

5)了解无穷小量与无穷大量的概念,并能进行无穷小量阶的比较,会求曲线渐近线。

() 函数连续性

1、考核知识点

1)函数连续性的定义

教学内容要点:函数在一点连续定义;区间连续定义;间断点定义。

(2) 函数连续的性质

教学内容要点:连续局部性质;连续区间性质;

3)一致连续性

教学内容要点:一致连续定义;一致连续性质。

(4) 初等函数连续性

教学内容要点:反函数连续性;复合函数连续性;初等函数连续性。

2、考核要求:

1掌握函数在一点连续和在区间连续的概念,会判别间断点类型。

2了解连续函数的局部性质,掌握反函数、复合函数及初等函数的连续性。

3)掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最值性),能熟练应用介值性定理。

() 导数与微分

1、考核知识点

1导数的定义;

教学内容要点:导数定义;单侧导数;导函数;几何意义。

(2) 求导公式与求导法则

教学内容要点:四则运算;反函数求导法则;复合函数求导法则;求导公式;参数曲线求导法则。

3)高阶导数

教学内容要点:高阶导数定义;莱布尼茨公式。

(4) 微分

教学内容要点:微分定义;运算法则;高阶微分;近似计算。

2、考核要求:

1掌握导数与微分的概念,以及单侧导数与导数之间关系。

2求导公式与求导法则,特别是复合函数的求导法则,及微分的运算法则。

3)掌握导数的几何意义,会求曲线的切线方程与法线方程。

4)参数方程的求导法则,对数求导法。

5)掌握高阶导数与高阶微分的概念,会求函数的高阶导数,特别是会使用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数。

6)了解微分在近似计算中的应用。

() 微分中值定理及其应用

1、考核知识点

1拉格朗日定义及函数单调性

教学内容要点:罗尔定理;拉格朗日中值定理;单调函数;达布定理。

(2) 柯西中值定理和不定式极限

教学内容要点:柯西中值定理;洛必达法则

3)泰勒公式

教学内容要点:佩亚诺型展式;拉格朗日型展式;近似计算。

(4) 函数极值与最值

教学内容要点:(1)极值判断;(2) 最值求解。

(5) 函数凹凸性与拐点

教学内容要点:凹凸性及拐点定义;凹凸性判别方法。

(6) 图像讨论

教学内容要点:简易图像绘图程序。

2、考核要求:

1掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件与结论,并能用微分中值定理解决相应的问题。

2)掌握柯西中值定理及泰勒公式,并能熟练应用。

3)掌握洛必达法则,熟练使用洛必达法则求函数未定式的极限。

4)用导数来判断函数的单调性,以及函数极值与最值的求法。

5)掌握函数凹凸性判定及函数拐点的求法。

6)了解函数的作图。

() 实数的完备性

1、考核知识点

1实数连续性定理

教学内容要点:闭区间套定理;聚点定理;有限覆盖定理。

(2) 上极限与下极限

教学内容要点:上下极限定义;上下极限性质;

2、考核要求:

1掌握闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理,并能应用其解决问题。

2了解实数连续性定理(确界定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则)的结论。

3)了解上极限与下极限。

五、题目类型

试题比例:基本题60%,综合分析与应用40%

难度等级:分为简单、一般难度和较难三个等级,比例为60%30%10%

1.单选题,2 0%

2.判断题,10%

3.填空题,10%

4.计算题,40%

5.证明题,20%

六、考试方法和考试时间

1.考试方法:校统考、闭卷 、笔试

2.记分方式:百分制,满分为100

3.考试时间: 90分钟

执笔人:王增赟

审核人:曾玉华

批准人:

201310 10

20131020

20131020

《数学分析》(二)考试大纲

课程编号:021ZB002

课程名称(中文):数学分析(二)

课程名称(英文)Mathematical Analysis 2

学分:5

总学时: 90

实验学时:12

课外实践:5

适应专业:数学与应用数学专业(必修)

先修课程:数学分析(一) 高中数学  空间解析几何   高等代数  普通物理

一、考试对象

修完本课程规定内容的数学与应用数学专业学生。

二、考试目的

   检查学生对《数学分析》(二)的学习情况。

三、命题的指导思想和原则

命题的指导思想是:全面考查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况。

命题的原则是:题型尽可能多样化,覆盖所有重要知识点,基本知识一般占60%左右,一般性综合题目占30%左右,难度题目占10%左右。其中绝大多数是中小题目,即使大题目也不应占分太多,应适当压缩大题目在总的考分中所占的比例。

四、考核知识点和考核要求

() 不定积分

1、考核知识点

1不定积分概念与基本积分公式

教学内容要点:原函数概念;不定积分概念;基本积分公式。

(2) 还原积分法与分部积分法

教学内容要点:还原积分法;分部积分法

3)有理函数和可化为有理函数的不定积分

教学内容要点:有理函数不定积分;三角式不定积分;欧拉变换。

2、考核要求:

1掌握原函数与不定积分的概念,掌握不定积分与导数(微分)的关系。

2掌握基本积分表、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法。

3)掌握有理函数与可化为有理函数的积分。

4)掌握某些简单无理函数及三角函数有理式的积分。

() 定积分

1、考核知识点

1定积分概念

教学内容要点:定积分的定义。

(2) 牛顿-莱布尼茨公式

教学内容要点:N-L 公式。

3)可积条件

教学内容要点:必要条件;充要条件;可积函数类。

4定积分的性质

教学内容要点:定积分的性质;积分中值定理。

(5) 微积分基本定理与定积分计算

教学内容要点:变限积分;微积分基本定理;定积分计算。

6)可积理论简叙

教学内容要点:上和与下和;可积充要条件。

2、考核要求:

1掌握定积分的概念,掌握小和与大和的概念及它们的性质。

2掌握可积的必要条件与可积函数类、可积的充分必要条件。

3)掌握定积分的性质及积分上限函数的性质,掌握定积分的基本原理。

4)掌握公式即牛顿—莱布尼兹公式、定积分的换元法与分部积分法。

() 定积分的应用

1、考核知识点

1平面图像面积

教学内容要点:曲线围成面积;旋转曲面面积。

(2) 平行截面面积求体积

教学内容要点:平行截面面积求体积公式。

3)曲线的弧长与曲率

教学内容要点:平面曲线弧长;参数曲线弧长;曲率。

2、考核要求:

1掌握定积分求面积与体积的公式与方法。

2掌握定积分求弧长的公式。

(十一) 反常积分

1、考核知识点

1反常积分的概念

教学内容要点:无穷积分的概念;瑕积分概念。

(2) 无穷积分收敛与收敛判别

教学内容要点:无穷积分性质;比较判别法;一般收敛判别法

3无穷积分收敛与收敛判别

教学内容要点:瑕积分性质;收敛判别法

2、考核要求:

1掌握无穷积分及瑕积分的收敛与发散的概念。

2)掌握无穷积分及瑕积分的性质。

3)掌握无穷积分及瑕积分的收敛的判别方法。

(十二) 数项级数

1、考核知识点

1级数的收敛性

教学内容要点:级数收敛的定义;级数收敛的柯西准则。

(2) 正项级数

教学内容要点:收敛一般判别法;比式判别法与根式判别法;积分判别法;拉贝判别法

3一般数项级数

教学内容要点:交错级数;绝对收敛级数;阿贝尔、狄利克雷判别

2、考核要求:

1掌握级数收敛的概念、性质及其判别法。

2掌握正项级数收敛性判别法、交错级数收敛的判别法、阿贝尔、狄利克雷判别法。

3了解绝对收敛级数的定义及其性质。

(十三) 函数列与函数项级数

1、考核知识点

1一致收敛性

教学内容要点:函数列收敛、一致收敛定义;函数列一致收敛判别准;

函数级数一致收敛定义;函数项级数一致收敛判别法。

(2) 一致收敛函数列与函数项级数的性质

教学内容要点:连续性;可积性;可微性

2、考核要求:

1掌握函数项级数一致收敛的概念,包括函数列的一致收敛性的概念。

2掌握函数项级数一致收敛、函数列一致收敛的判别法。

3掌握和函数的分析性质。

(十四) 幂级数

1、考核知识点

1幂级数性

教学内容要点:幂级数收敛区间幂级数和函数的性质

(2) 函数的幂级数展开

教学内容要点:泰勒级数;初等函数的幂级数展式

2、考核要求:

1掌握幂级数的收敛半径和收敛区间。

2掌握幂级数和函数的分析性质,并能求幂级数的和函数。

3掌握一些基本初等函数的幂级数展开式。

4)了解泰勒级数,以及幂级数的应用。

(十四) 傅里叶级数

1、考核知识点

1傅里叶级数

教学内容要点:正交函数系周期函数傅里叶展式;收敛定理。

(2) 周期函数的傅里叶展式函数的幂级数展开

教学内容要点:周期函数傅里叶展式;奇偶函数的傅里叶展式。

(3) 收敛定理的证明

教学内容要点:贝塞尔不等式;收敛定理证明

2、考核要求:

1了解三角级数、函数系的正交性以及收敛定理的证明。

2掌握以(或以)为周期的函数的傅立叶级数。

3掌握奇函数与偶函数的傅立叶级数。

五、题目类型

试题比例:基本题60%,综合分析与应用40%

难度等级:分为简单、一般难度和较难三个等级,比例为60%30%10%

1单选题,2 0%

2.判断题,10%

3.填空题,10%

4.计算题,40%

5.证明题,20%

六、考试方法和考试时间

1.考试方法:校统考、闭卷 、笔试

2.记分方式:百分制,满分为100

3.考试时间: 90分钟

执笔人:王增赟

审核人:曾玉华

批准人:

201310 10

20131020

20131020

《数学分析》(三)考试大纲

课程编号:021ZB003

课程名称(中文):数学分析(三)

课程名称(英文)Mathematical Analysis 3

学分:5

总学时:72

实验学时:12

适应专业:数学与应用数学专业(必修)

先修课程:数学分析(一)数学分析(二) 高中数学  空间解析几何   高等代数  普通物理

  一、考试对象

修完本课程规定内容的数学与应用数学专业学生。

二、考试目的

   检查学生对《数学分析》(三)的学习情况。

三、命题的指导思想和原则

命题的指导思想是:全面考查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况。

命题的原则是:题型尽可能多样化,覆盖所有重要知识点,基本知识一般占60%左右,一般性综合题目占30%左右,难度题目占10%左右。其中绝大多数是中小题目,即使大题目也不应占分太多,应适当压缩大题目在总的考分中所占的比例。

四、考核知识点和考核要求

(十六) 多元函数的极限与连续

1、考核知识点

1平面点集与多元函数

教学内容要点:平面点集的完备性;二元函数;多元函数

(2) 二元函数的极限

教学内容要点:二元函数极限;累次极限

(3) 二元函数的连续性

教学内容要点:二元函数连续概念;局部性质;整体性质

2、考核要求:

1了解平面点集与多元函数的概念,了解坐标平面的连续性(闭矩形套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则、致密性定理)。

2掌握二元函数的极限(二重极限)与二次极限,二元函数的连续性及其关系。

3掌握在有界闭区域上连续的二元函数的性质(有界性、最值性、介值性)。

(十七) 多元函数微分学

1、考核知识点

1可微性

教学内容要点:可微性与全微分偏导数;可微条件;几何意义。

(2) 复合函数微分法

教学内容要点:复合函数求导法则;复合函数全微分

(3) 方向导数与梯度

教学内容要点:方向导数;梯度

(4) 泰勒公式与极值

教学内容要点:高阶偏导数;中值定理与泰勒公式;极值与最值

2、考核要求:

1掌握多元函数的偏导数与全微分,并能熟练求函数偏导数与全微分。

2掌握多元函数的偏导数与全微分,并能熟练求函数偏导数与全微分。

3掌握可微的几何意义,会求曲面在某点的切平面与法线方程。

4掌握求方向导数和高阶偏导数的方法。

5了解二元函数泰勒公式以及中值定理。

6掌握求二元函数极值的方法。

(十八) 多元函数微分学

1、考核知识点

1隐函数

教学内容要点: 隐函数概念隐函数存在性条件分析;隐函数定理;

隐函数极值。

(2) 隐函数组

教学内容要点:隐函数组概念;隐函数组定理;反函数组、坐标变换

(3) 几何应用

教学内容要点:平面曲线的切线与法线;空间曲线的切线与法平面;曲面的切平面与法线

(4) 条件极值

教学内容要点:条件极值

2、考核要求:

1了解隐函数的概念及隐函数存在定理的条件与结论。

2了解隐函数组的概念及隐函数组存在定理。

3掌握求隐函数或隐函数组的偏导数(或导数)的方法。

4掌握函数的条件极值与拉格朗日乘数法。

5会求空间曲线的切线与法平面方程,以及曲面的切平面与法线方程。

(十九) 含参量积分

1、考核知识点

1含参量积分

教学内容要点:含参量积分的分析性质(连续、可积、可微)。

(2) 含参量反常积分

教学内容要点:一致收敛性及其判别法;含参量反常积分的性质

(3) 欧拉积分

教学内容要点:函数;函数;函数与函数关系

2、考核要求:

1掌握含参变量有限积分在闭区间的分析性质。

2掌握含参变量无穷积分的一致收敛及其判别法。

3掌握含参变量无穷积分的分析性质。

4了解函数与B函数的定义及其性质、它们之间的关系。

(二十) 曲线积分

1、考核知识点

1第一型曲线积分

教学内容要点: 第一型曲线积分定义;第一型曲线积分计算。

(2) 第二型曲线积分

教学内容要点: 第二型曲线积分定义;第二型曲线积分计算;两类曲线积分关系

2、考核要求:

1了解第一型曲线积分与第二型曲线积分的概念及两者的关系。

2掌握第一型曲线积分与第二型曲线积分的计算。

(二十一) 重积分

1、考核知识点

1二重积分的概念

教学内容要点:平面图形面积;二重积分定义;二重积分性质。

(2) 直角系下二重积分的计算

教学内容要点:累次转化;坐标变换

(3) 格林公式

教学内容要点:格林公式;曲线积分与路径无关

4二重积分变量变换

教学内容要点:二重积分变量变换公式;极坐标二重积分计算。

(5) 三重积分

教学内容要点:三重积分概念;三重积分计算

(6) 重积分的应用

教学内容要点:曲面的面积;质心;转动惯量

2、考核要求:

1掌握二重积分的定义、二重积分存在条件、二重积分的性质。

2掌握二重积分的计算,化二重积分为累次积分,二重积分的换元法。

3掌握格林公式,会用格林公式求闭曲线的积分。

4掌握三重积分的定义、三重积分的计算,会化三重积分为累次积分。

5了解重积分的应用。

(二十二) 曲面积分

1、考核知识点与课时分配

1第一型曲面积分

教学内容要点:第一型曲面积分定义;第一型曲面积分计算。

(2) 第二型曲面积分

教学内容要点:第二型曲面积分定义;第二型曲面积分计算。

(3) 高斯公式与斯托克斯公式

教学内容要点:高斯公式;斯托克斯公式。

2、考核要求:

1了解第一型曲面积分与第二型曲面积分的概念。

2掌握第一型曲面积分与第二型曲面积分的计算。

3掌握用奥高公式计算闭曲面上的积分。

4了解曲线积分与曲面积分的关系,会使用斯托克斯公式。

五、题目类型

试题比例:基本题60%,综合分析与应用40%

难度等级:分为简单、一般难度和较难三个等级,比例为60%30%10%

1.单选题,2 0%

2.判断题,10%

3.填空题,10%

4.计算题,40%

5.证明题,20%

六、考试方法和考试时间

1.考试方法:校统考、闭卷 、笔试

2.记分方式:百分制,满分为100

3.考试时间: 90分钟

执笔人:王增赟

审核人:曾玉华

批准人:

201310 10

20131020

20131020




 
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